\subsection{Der harmonische Oszillator}
Bei einem harmonischen Oszillator wirkt auf ein physikalisches Objekt eine Rückstellkraft, die proportional zur Auslenkung von einer Ruhelage ist.
Beim \mensch{Pohl}schen Resonator wird das rückstellende Drehmoment $T$ auf eine Schwungscheibe durch eine Spiralfeder erzeugt \citep[S.~85]{Gerthsen}:
\begin{align*}
  T &= - D \varphi \\
  J \ddot \varphi &= -D \varphi
\end{align*}
Dabei bezeichnet $D$ die Federkonstante der Feder und $J$ das Trägheitsmoment der Schwungscheibe.
Dies beschreibt einen ungedämpften harmonischen Oszillator mit der Eigenfrequenz $\omega_0$:
\begin{align}
  \varphi(t) &= \varphi_0 \cos(\omega_0 t) \\
  \omega_0 &= \sqrt\frac{D}{J}.
\end{align}

Zusätzlich wird das \mensch{Pohl}sche Rad durch Reibung und eine Wirbelstrombremse gebremst, dabei ist das bremsende Drehmoment linear von der Winkelgeschwindigkeit abhängig, so dass sich insgesamt folgende Gleichung ergibt:
\begin{align*}
  \ddot \varphi &= - 2k \dot \varphi - \frac{D}{J} \varphi \\
  0 &= \ddot \varphi + 2k \dot \varphi + \omega_0^2 \varphi \\
\end{align*}
Hier bezeichnet $k$ die Dämpfungskonstante der gedämpften Oszillation.

Diese Differentialgleichung hat zwei Lösungen \citep[S.~150]{Gerthsen}:
\begin{align*}
  \varphi(t) &= \varphi_0 \exp(\lambda t) \\
  \lambda_{1,2} &= -k \pm \sqrt{k^2 - \omega_0^2}
\end{align*}

Bei der hier vorliegenden schwachen Dämpfung ergibt sich ein negativer Radikand, der Realteil liefert nun die Gleichung für die gedämpfte Schwingung:
\begin{align}
  \varphi(t) &= \varphi_0 \exp(-kt)\sin(\omega_\mathrm{e} t) \\
  \omega_{e} &= \sqrt{\omega_0^2 - k^2} \label{eq:eigenfrequenz}
\end{align}
Dabei ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Maxima nur von der ``einhüllenden'' Exponentialfunktion abhängig, was zur Definition des logarithmischen Dekrements $\Lambda$ führt:
\begin{align}
  \Lambda &= \ln\left(\frac{\varphi(t)}{\varphi(t + T)}\right) = kT \label{eq:log-dekrement}
\end{align}
\subsection{Oszillator mit äußerer Anregung}
Bei einer sinusförmigen äußeren Anregung mit der Anregungsfrequenz $\omega$ ergibt sich ein zusätzlicher Term in der Differentialgleichung:
\begin{align*}
  N\cos(\omega t) &= \ddot \varphi + 2k \dot \varphi + \omega_0^2 \varphi \\
\end{align*}
Eine Lösung für den stationären Zustand lautet \citep[S.\,154]{Gerthsen}:
\begin{align}
  \varphi(t) &= \frac{N}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2k\omega)^2}}\cos(\omega t + \phi) \label{eq:driven-oscillator} \\ 
  \phi &= \arctan\left(\frac{2k\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\right) \label{eq:phase-angle}
\end{align}
Dabei bezeichnet $\phi$ die Phasenverschiebung zwischen äußerer Anregung und Oszillator.

