\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
	   \def\svgwidth{8cm}
	   \input{Aufbau.pdf_tex}
	\end{center}
	\caption{Skizze des Aufbaus der Gravitationswaage (Verändert nach LP~\cite{LP-Graviwaage})}
	\label{fig:aufbau}
\end{figure}
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
	   \def\svgwidth{8cm}
	   \input{Schema_Aufbau.pdf_tex}
	\end{center}
	\caption{Schematischer Aufbau mit einigen wichtigen Größen (Verändert nach LP~\cite{LP-Graviwaage})}
	\label{fig:schema}
\end{figure}

Das von \mensch{Isaac Newton} formulierte Gravitationsgesetz für die Kraft
zwischen zwei massebehafteten Körpern der Massen $M$ und $m$ mit vektoriellem Abstand $\vec{r}$ lautet~\cite{Gerthsen}:
\begin{align}
	\vec{F} = \gamma \frac{Mm}{r^2} \vec{e_r}.
	\label{eq:Newton}
\end{align}
Die in diesem Versuch verwendete Gravitationswaage nach \mensch{Cavendish} und \mensch{Eötvös} (siehe Abb.~\ref{fig:aufbau})
besteht aus einem Torsionsfaden, an dem zwei kleine Metallkugeln und ein Spiegel angebracht sind.
Dieser Teil des Aufbaus befindet sich in einem evakuierten Glasbehälter, der zusätzlich mit einem Kupfernetz vor statischen Aufladungen geschützt ist.

Ein auf den Spiegel gerichteter Laser erzeugt einen Lichtpunkt auf einer gut ablesbaren Skala.
Außerhalb des Behälters befinden sich außerdem zwei große Eisenkugeln,
die mit Hilfe eines Drehtellers um den Glasbehälter gedreht werden können,
wobei der Winkel auf einer Winkelskala abzulesen ist.

In einer beliebigen Ruhelage müssen sich alle wirkenden Drehmoment ausgleichen,
es entspricht also das Torsionsmoment des Fadens $M_T$ dem wegen der Gravitationskraft zwischen den Kugeln wirkenden Drehmoment $M_G$.
Für letzteres folgt mit Gleichung~\ref{eq:Newton} für beide Kugelpaare zusammen:
\begin{align}
	M_G = 2a \gamma \frac{Mm}{d^2}\sin{\beta},
	\label{eq:Gravmom}
\end{align}
wobei $d$ den Abstand einer einer kleinen Kugel zur jeweils näherliegenden großen angibt und $a$ und $\beta$ in Abbildung~\ref{fig:schema} definiert sind.
Hat der Faden den Radius $r_F$ und die Länge $l_F$, so ergibt sich für kleine $\varphi$~\cite{Gerthsen}:
\begin{align}
	M_T = D\varphi = G \frac{\pi r_F^4}{2l_F}\varphi
	\label{eq:Torsmom}
\end{align}
mit dem materialabhängigen Torsionsmodul $G$ und der Winkelrichtgröße $D$.
Letztere kann über eine Messung der Periodendauer der Schwingung der Torsionshantel mit Trägheitsmoment $\Theta$ bestimmt werden~\cite{Anleitung}:
\begin{align}
	D &= \frac{4\pi^2}{T^2}\Theta\\
	&= \frac{4\pi^2}{T^2} 2m \left(\frac25r^2+a^2\right).
	\label{eq:Winkelricht}
\end{align}
Das Trägheitsmoment ergibt sich aus dem Trägheitsmoment einer Kugel mit Radius $r$ und Masse $m$ bei Rotation um die eigene Achse
$\Theta_{SP}=\frac25 m r^2$ und Anwendung des \mensch{Steiner}schen Satzes bei Verschiebung der Drehachse um die Länge $a$:
$\Theta_a = m\left(\frac25 r^2+a^2\right)$.
Anschließend wird noch berücksichtigt, dass es sich bei der Torsionshantel um zwei Kugeln des Radius $r$ im Abstand $a$ handelt.

Gibt $d$ den Abstand zwischen einer kleinen Kugel und der näherliegenden großen Kugel und
$\delta$ den gegenüberliegenden Winkel an, so ergibt sich aus dem Sinussatz:
$\sin{\beta} = \frac{b}{d} \sin{\delta}.$
Da die Auslenkung der Torsionshantel $\varphi$ immer nur wenige Grad beträgt,
lässt sich die Näherung $\delta = \alpha - \varphi \approx \alpha$ verwenden.
Für $d$ folgt dann mit dem Cosinussatz
$d^2=a^2+b^2-2ab\cos{\delta},$ also insgesamt mit den Gleichungen~\ref{eq:Gravmom},~\ref{eq:Torsmom} und~\ref{eq:Winkelricht}:
\begin{align}
	\gamma = 4\pi^2\varphi \left(\frac25 r^2+a^2\right) \frac{\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{\alpha}}^3}{T^2Mab\sin{\alpha}}.
	\label{eq:gamma}
\end{align}
