\subsection{Ideales Gas}
Als \emph{ideales Gas} bezeichnet man einen gasförmigen Stoff, dessen als punktförmig angenommene Moleküle ausschließlich durch elastische Stoßprozesse (Impulsübertragung) wechselwirken.
Dies ist natürlich ein abstrakter Begriff, der nur als einfache Näherung des wirklichen Sachverhaltes verwendet werden kann.
Bei vielen Gasen ist diese Näherung allerdings für die meisten Anwendungen ausreichend genau.
\subsection{Temperatur, Druck und Volumen}
\emph{Temperatur}, \emph{Druck} und \emph{Volumen} sind drei eng zusammenhängende Begriffe der Thermodynamik.
Der Druck $p$ ist definiert als das Verhältnis einer senkrecht auf eine Fläche wirkenden Kraft $F$ zu deren Oberfläche $A$.
$$p=\frac{F}{A}$$
Die Temperatur $T$ ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie $\langle\frac{1}{2} m v^2\rangle$ der Moleküle eines Stoffes.
Bei idealen Gasen mit konstanter Teilchenzahl gelten folgende Gesetzmäßigkeiten \cite{Gerthsen}:\\
Gesetz von \mensch{Boyle-Mariotte}:
$$pV=\mathrm{const} \quad (\mathrm{bei~} T,n=\mathrm{const})$$
Gesetz von \mensch{Gay-Lussac}:
\begin{align*}
V(t) &= V_0 (1+\gamma t) \quad (p = \mathrm{const}) \\
\Rightarrow p(t) &= p_0 (1+\gamma t) \quad (V = \mathrm{const}) \\
\end{align*}
Die \emph{ideale Gasgleichung}:
$$pV=NkT=nRT$$
Hier bezeichnet $N$ die Teilchenzahl, $k$ die \mensch{Boltzmann}\emph{-Konstante}, $n$ die Stoffmenge und $R$ die universelle Gaskonstante.
\subsection{Hauptsätze der Thermodynamik}
Die Hauptsätze lauten \cite{Gerthsen}
\begin{enumerate}
	\item $\D U = \delta Q + \delta W$ \\
	\item Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die ausschließlich Wärme in mechanische Arbeit umwandelt. \\
	\item Den absoluten Temperaturnullpunkt $T = 0$ zu erreichen, ist unmöglich.
\end{enumerate}
Es bezeichnet $\D U$ die innere Energie des Systems, $\delta Q$ die dem System von außen zugeführte Wärme und $\delta W$ die in das System überführte Arbeit.
Für die innere Energie gilt außerdem das Äquipartitionstheorem \cite{Gerthsen}: $U = \frac12 f R T,$
wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade eine Molkeüls des jeweiligen Gases bezeichnet.
\subsection{Spezifische Wärme}
Die \emph{spezifische Wärmekapazität} (kurz: spezifische Wärme) eines Stoffes ist ein Faktor $c$, der bestimmt, welche Wärmemenge $\Delta Q$ einer Masse $m=1\,\mathrm{kg}$ des Stoffes zugeführt werden muss, um diesen um die Temperatur $\Delta T = 1\,\mathrm{K}$ zu erhitzen \cite{Gerthsen}:
$$\Delta Q = c \Delta T.$$
Man unterscheidet zwischen spezifischer Wärme $c_p$ bei Erwärmung unter konstantem Druck und spezifischer Wärme $c_V$ bei Erwärmung unter konstantem Volumen.
Weiterhin gilt \cite{Gerthsen} $$\D U= c_V \D T.$$
Aus der idealen Gasgleichung für $n=1\,\mathrm{Mol}$ folgt $V \D p + p \D V = R \D T$ und bei konstantem Volumen gilt \cite{Gerthsen} $\delta W = - p \D V.$
Mit $\D U = \frac12 f R \D T$ folgt schließlich:
\begin{align*}
\\	\frac{\D U}{R \D T} &= \frac{\delta Q + \delta W}{R \D T} \\\\
	\Rightarrow \frac{f}2 &= \frac{\delta Q - p \D V}{V \D p + p \D V} \\\\
	\Rightarrow \frac{c_V}{R} &= \frac{\delta Q - p \D V}{V \D p + p \D V} \\
\end{align*}
Im zweiten Teil des Versuches wird zur Berechnung des Drucks ein Zusammenhang zwischen Druckunterschied und Höhenunterschied der Wassersäule im Manometer benötigt (siehe Abb. \ref{fig:spezw_aufbau}). Dieser soll nun hergeleitet werden.

Die Zunahme des Volumens der Luft im Glaskolben verursacht den gleichen Volumenunterschied $\Delta V$ im Manometer. Es gilt mit den Bezichnungen aus Abb. \ref{fig:spezw_aufbau}: $$\Delta V = \pi r_1^2 \Delta z_1 = \pi r_2^2 \Delta z_2.$$
Hier ist leicht zu sehen: $\Delta z_2 = \Delta z_1 (r_1/r_2)^2.$
Der Druckunterschied lässt sich dann durch $$\Delta p = \rho g (\Delta z_1 + \Delta z_2) = \rho g \Delta z_1 \left[\,1 + \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2\,\right]$$ errechnen.
Für die Energie des Kondensators gilt \cite{Gerthsen}: $$\Delta Q= \frac12 C U^2.$$
