\subsection{Methode nach Rüchardt}
Mit der Formel (\ref{eq:ruechardt}) berechnet sich der absolute Fehler nun folgendermaßen:
$$ \sigma_\kappa = \frac{128 \cdot m \cdot V }{T^3 p d^4} \sigma_T.$$
Für die Messungen ergeben sich jetzt die Mittelwerte in Tab.~\ref{tab:werte-ruechardt}. Dabei wurde der mittlere quadratische Fehler des Bestwertes als Fehlerabschätzung für $\sigma_T$ benutzt.
\begin{table}
  \centering
  \begin{tabular}{|r|c|c|c|}
    \hline
    Schwingungen & Luft & Argon & Kohlenstoffdioxid \\ 
    \hline
    \hline
    1   & 1.38  $\pm$ 0.14   & 1.64   $\pm$ 0.18   & 1.30   $\pm$ 0.13   \\
    \hline                                          
    10  & 1.389  $\pm$ 0.025  & 1.643  $\pm$ 0.032  & 1.297  $\pm$ 0.023 \\
    \hline                                          
    20  & 1.3925  $\pm$ 0.013  & 1.649  $\pm$ 0.016  & 1.304  $\pm$ 0.012\\
    \hline                                          
    50  & 1.3946 $\pm$ 0.0050 & 1.6475 $\pm$ 0.00634 & 1.3015 $\pm$ 0.0044\\
    \hline                                          
    100 & 1.3983 $\pm$ 0.0025 & 1.6496 $\pm$ 0.0032 & 1.2999 $\pm$ 0.0023\\ 
    \hline
  \end{tabular}
  \caption{Zwischenergebnisse für die Methode nach \mensch{Rüchardt}}
  \label{tab:werte-ruechardt}
\end{table}

Deren gewichtete Mittelwerte betragen:
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
  \kappa_\mathrm{Luft} &= (1.397 \pm 0.003) \\
  \kappa_\mathrm{Argon} &= (1.649 \pm 0.003) \\
  \kappa_\mathrm{CO_2} &= (1.300 \pm 0.003)
\end{empheq}

Mit diesen Werten lassen sich nun auch die Freiheitsgrade der drei Gase berechnen. Genau wie im Versuch 06 gilt:
$$ \frac{f}{2} = \frac{c_V}{R}$$

Mit $\kappa = \frac{c_p}{c_V} = \frac{c_V+R}{c_V}$, lässt sich die obere Gleichung nach $f$ umstellen:
$$ f = \frac{2 c_V}{R} = \frac{2 R}{R (\kappa -1)} = \frac{2}{\kappa -1}$$

Der absolute Fehler von $f$ berechnet sich nun zu:
$$\sigma_f = \frac{2 \sigma_\kappa}{(\kappa-1)^2}$$

Damit ergeben sich die folgenden Freiheitsgrade:

\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
  f_\mathrm{Luft} &= (5.04 \pm 0.04) \\
  f_\mathrm{Argon} &= (3.08 \pm 0.02) \\
  f_\mathrm{CO_2} &= (6.67 \pm 0.07)
\end{empheq}
\subsection{Methode nach Clement-Desormes}
Mit der Formel (\ref{eq:clement-desormes}) und dem bekannten Zusammenhang $\Delta p = \rho g 2 \Delta h$ der Messgrößen ergibt sich nun:
$$\kappa = \frac{\Delta p1}{\Delta p_1 - \Delta p_2} = \frac{2 \rho g}{2 \rho g} \cdot \frac{\Delta h_1}{\Delta h_1 - \Delta h_2} = \frac{\Delta h_1}{\Delta h_1 - \Delta h_2}.$$
Dabei ist $\rho$ die Dichte des Öls im Ölmanometer, und $g$ die Schwerebeschleunigung.

Also kann man folgenden absoluten Fehler abschätzen:
$$ \sigma_\kappa = \sqrt{\left(\frac{\Delta h_2 \cdot \sigma_{\Delta h_1}}{(\Delta h_1 - \Delta h_2)^2}\right)^2 + \left(\frac{\Delta h_1 \cdot \sigma_{\Delta h_2}}{(\Delta h_1-\Delta h_2)^2}\right)^2}. $$

Damit berechnet sich der \emph{Adiabatenexponent} von Luft nun folgendermaßen:
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
  \kappa_{\Delta t = \unit[0.1]{s}} &= 1.403 \pm 0.014 \\
  \kappa_{\Delta t = \unit[1.0]{s}} &= 1.328 \pm 0.012 \\
  \kappa_{\Delta t = \unit[5.0]{s}} &= 1.256 \pm 0.010
\end{empheq}
Dabei bezeichnet $\Delta t$ die Öffnungszeit des Entlüftungsventils.
\subsection{Adiabatenexponent von Luft}
Da bei beiden Methoden der \emph{Adiabatenexponent} von Luft bestimmt wurde, lässt sich nun ein gewichtetes Mittel berechnen. Dabei wurde nur der Wert für $\Delta t = \unit[0.1]{s}$ verwendet, da die anderen Werte offenbar starke systematische Fehler aufweisen (Siehe Diskussion).
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
  \kappa &= 1.3973 \pm 0.0030  
\end{empheq}
