\subsection{Qualitative Interpretation anhand von Diffusionskurven}
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \def\svgwidth{8cm}
    \input{qualiint.tex}
  \end{center}
  \caption{Lösung des 2. \mensch{Fick}schen Gesetzes für die gegebenen Anfangsbedingungen bei verschiedenen Zeiten $t$.}
  \label{fig:qualiint}
\end{figure}
Messung (1) und (2) werden bei stets konstanter Konzentration durchgeführt, wobei $x$ immer größer wird.
Man bewegt sich in Abb.~\ref{fig:qualiint} also auf einer Parallelen zur $x$-Achse.
Für Messung (3) und (4) wird eine näherungsweise konstante Zeit angenommen,
hier bewegt man sich also jeweils auf einer den eingezeichneten Graphen ähnelnden Kurve zu festem Zeitpunkt $t \approx 40\,\unit{min}$ bzw.~$t \approx 100\,\unit{min}$
\subsection{Ermittlung des Diffusionskoeffizienten}
Zuerst werden die gemessenen Werte $x_\mathrm{mess}$ wie folgt umgerechnet: $$x=\frac{x_\mathrm{mess}-x_0}{1000},$$
wobei für $x_0$ jeweils der erste gemessene Wert zur Zeit $t=0$ gewählt wurde.
Hierdurch erhält man $x$ in Metern und für $t=0$ gilt $x=0.$

Anschließend wird für beide Messungen das Quadrat der Diffusionsstrecke $x^2$ gegen die Zeit $t$ aufgetragen (siehe Abb.~\ref{fig:DKoeff})
und eine lineare Regression\footnote{via gnuplot, $\chi_{red, 1}^2 = 1.00735\cdot10^{-13}$, $\chi_{red, 2}^2 = 1.46221\cdot10^{-13}$} durchgeführt.
Diese Regressionen liefern die Steigungen der jeweiligen Geraden $m_1$ und $m_2.$
Mit Hilfe von Gleichung (\ref{eq:loesung})
ergibt sich für den Diffusionskoeffizienten: $$D_i=\frac{m_i}{\mathrm{erf}^{-1}(7/8)}.$$
Hier bezeichnet $\mathrm{erf}^{-1}$ die inverse Gaußsche Errorfunktion.
Nach einer numerischen Berechnung\footnote{per WolframAlpha$^{\mathrm{TM}}$} von erf$^{-1}(\frac78) \approx 1.084787$ erhält man:
\begin{align*}
  D_1 &= (3.556 \pm 0.0010)\cdot10^{-10}\,\unitfrac{m^2}{s} \\
  D_2 &= (4.827 \pm 0.0014)\cdot10^{-10}\,\unitfrac{m^2}{s} \\
  \Rightarrow \bar D &= (4.192 \pm 0.0043)\cdot10^{-10}\,\unitfrac{m^2}{s} \\
\end{align*}
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \def\svgwidth{8cm}
    \input{DKoeff.tex}
  \end{center}
  \caption{Lineare Regression zur Bestimmung des Diffusionskoeffizienten $D$.}
  \label{fig:DKoeff}
\end{figure}
\subsection{Konzentrationsprofil}
Mit dem experimentell bestimmten Wert für $D$ lassen sich nun per Gleichung (\ref{eq:loesung})
theoretische Werte für $c/c_0$ ermitteln, die anschließend mit den gemessenen Werten verglichen werden (siehe Abb.~\ref{fig:C_over_C0_3},~\ref{fig:C_over_C0_4}).
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \def\svgwidth{8cm}
    \input{C_over_C0_3.tex}
  \end{center}
  \caption{Konzentrationsprofil nach etwa $45\,\unit{min}$.}
  \label{fig:C_over_C0_3}
\end{figure}
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \def\svgwidth{8cm}
    \input{C_over_C0_4.tex}
  \end{center}
  \caption{Konzentrationsprofil nach etwa $90\,\unit{min}$.}
  \label{fig:C_over_C0_4}
\end{figure}

Es zeigt sich, dass die Messergebnisse bis auf wenige Ausnahmen\footnote{Hier muss angemerkt werden, dass die Werte für $c/c_0=2$ und $c/c_0=4$ nicht richtig gemessen werden konnten, da die Messschraube nicht weit genug verstellbar war. Folglich sind diese Werte als hochgradig fehlerbehaftet anzusehen.} erstaunlich gut mit den theoretisch ermittelten Werten zusammenfallen.
Passend zu dieser Beobachtung ergibt sich der maximale Fehler durch die Annahme einer konstanten Zeit und realem Zeitunterschied $\Delta t \approx 5\,\unit{min}$ bei mittlerem $x$ zu:
\begin{align*}
  \sigma_{c, max} &= \frac{\Delta t}{\unit{s}}\,\frac{\partial(c/c_0)}{\partial t} \\
  &\approx 3.8\cdot10^{-6}.\\
\end{align*}
Dieser Wert beeinflusst die gemessen Werte von $c/c_0$ offensichtlich kaum.
