Wenn in einem Fluid die Teilchen eines Stoffes nicht homogen verteilt sind, wirkt die \emph{Brownsche Molekularbewegung} diesem entgegen, denn die zufällige Eigenbewegung der Teilchen führt im zeitlichen Mittel zu einem Teilchenstrom von Gebieten mit hoher Teilchendichte in Gebiete mit kleinerer Teilchendichte. Dieser Vorgang wird \emph{Diffusion} genannt.

Wenn die Teilchenanzahl als Erhaltungsgröße angenommen werden kann, muss für die Teilchendichte $n(\vec x)$ an einem Ort und die Stromdichte des Diffusionsstromes aus diesem Ort $\vec j(\vec x)$ offenbar gelten:

$$ \frac{\partial}{\partial t}n(\vec x) =  - \vec \nabla \cdot \vec j(\vec x).$$

Zusätzlich strömt in Gebieten, in denen sich die Teilchendichte stark ändert, ein größerer Teilchenstrom. Dies wird ausgedrückt durch das \emph{1. \mensch{Fick}sche Gesetz} \cite{Gerthsen}:
$$ \vec j(\vec x) = -D \, \vec \nabla n(\vec x).$$

Hierbei wird $D$ als \emph{Diffusionskonstante} bezeichnet.

Einsetzen der beiden Gleichungen ergibt nun das \emph{2. \mensch{Fick}sche Gesetz}:
\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial t}n(\vec x) &= - \vec \nabla \cdot \vec j(\vec x) = - \vec \nabla \cdot (-D \, \vec \nabla n(\vec x)) = D \vec \nabla^2 n(\vec x). \label{eq:fick2}
\end{align}

\subsection{Diffusion in überschichteten Flüssigkeiten}
In diesem Versuch sind zu Beginn zwei getrennte Flüssigkeitsphasen übereinander geschichtet. Die von der Höhe abhängige Konzentration $c(h)$ der oberen Flüssigkeit kann also über der Grenzschicht als konstant $c = c_0$ angenommen werden, und als $c = 0$ unterhalb der Grenzschicht.

Mit diesen Anfangsbedingungen lässt sich Gleichung (\ref{eq:fick2}) analytisch lösen\,\cite{Anleitung}:
\begin{align}
  c(u,t) &= \frac{c_0}{2}\left[1-\erf\left(\frac{u}{\sqrt{4Dt}}\right)\right]. \label{eq:loesung}
\end{align}

Dabei bezeichnen $u$ bzw. $t$ die betrachtete Höhe und Zeit sowie $\erf(y)$ die \emph{\mensch{Gauß}sche Fehlerfunktion}
\begin{align*}
  \erf(y) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits^y_{-\infty}\exp(-v^2)\D{v}.
\end{align*}
